La
lógica es la rama de la filosofía que estudia los principios del
razonamiento correcto.
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La
lógica elemental se divide en:
lógica de enunciados lógica de predicados  Ambas
utilizan un lenguaje propio artificial o formalización de un
lenguaje natural que permite analizar las proposiciones del
lenguaje natural.
El
cometido de la lógica clásica elemental es determinar si
nuestros razonamientos, independientemente de su contenido, son
correctos o incorrectos.
Por
razonamientos (o argumentos) se entiende un conjunto de
proposiciones de tal manera que, una de las cuales, denominada
conclusión
del razonamiento, pueda presentarse como consecuencia de las
demás proposiciones, llamadas premisas
del razonamiento.
En
la lógica de enunciados
la unidad mínima es el
enunciado, es decir, un segmento lingüístico que
tiene sentido completo por sí mismo:
Esta fiesta es muy divertida Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena
Para
que un enunciado sea tal, tiene que poder atribuírse valores
de verdad o falsedad.
En
el caso de las dos oraciones anteriores, la verdad o falsedad
habrá de determinarse empíricamente, comprobando si, de hecho,
la fiesta es divertida y buena la música. En este
caso, además, la dificultad es aún mayor ya que se trata de una
afirmación subjetiva.
La
lógica de enunciados (o lógica proposicional), trata del
estudio de la composición de enunciados mediante conectores (y,
o, si...entonces, etc.) y se fundamenta en el principio
de bivalencia, según el cual, todo enunciado es
verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez.
Podemos
decir, por lo tanto, que la lógica de enunciados se dedica a
formalizar las proposiciones del lenguaje natural en un lenguaje
simbólico y a definir los conectores, estudiando las leyes de
combinación o deducción de los enunciados que las contienen.
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 En
la lógica de predicados
se formaliza y estudia la oración atendiendo a los dos términos
que la componen: el
sujeto y el predicado. |
Ya
hemos visto que la unidad mínima de este tipo de lógica es el
enunciado o segmento lingüístico con sentido completo.
Los
enunciados pueden ser:
1. Simples o atómicos: no tienen conectores de ninguna clase
Ejemplos: El Tajo es un río.
2. Compuestos o moleculares: utilizan conectores que unen varios segmentos lingüísticos:En esta fiesta hay 20 personas
Ejemplo: En esta fiesta hay 20 personas y poca cerveza
LOS
CONECTORES de los enunciados moleculares son:
NEGACIÓN: se representa por el símbolo ~ ó ¬ .
Así, el enunciado ¬p se leería como: " no p"; "no es cierto que p"; "no p".
El enunciado no es verdad que no sea puntual se formularía: ¬¬p, donde p es la variable que representa a ser puntual.
CONJUNCIÓN: su símbolo es una v mayúscula al revés: (podemos utilizar también el signo & )
El enunciado : viajo a la India y a China se formularía: i & c , donde i es la variable que representa a viajar a India y c es la variable que representa a viajar a China.
p & c & r se leerá: "p y c y r" ( p y también c, y además r ).- DISYUNCIÓN: Su símbolo es V (como la inicial de la disyunción latina "vel" y se traduce por o.El enunciado : LLegaré en tren o en avión se formularía: t V a, donde t es la variable que representa llegar en tren y a la variable que representa llegar en avión.
CONDICIONALO IMPLICADOR: Su símbolo es -> y se traduce por: si....entonces.
El enunciado: si vienes pronto, iremos al cine se formularía: p -->c , donde p es la variable que representa al antecendente venir pronto y c a la variable ir al cine.
p --> ( q --> r ) se leerá como: si p entonces q entonces r ( p implica q entonces r).- BICONDICIONAL O COIMPLICADOR: Su símbolo es <-> y se lee: si y sólo si o también: cuando y sólamente cuando.El enunciado si y sólo si respetas el deber eres moral se formularía: r <--> m, donde r es la variable que representa respetar el deber y m la variable ser moral.
La
deducción directa
Un
argumento es un
conjunto de enunciados o proposiciones entre los cuales una
proposición final, llamada conclusión, se sigue de las otras
proposiciones o premisas. Pues bien, llamamos deducción
a un modo de argumentar tal que el paso de las premisas a la
conclusión es necesario.
La
deducción formal o lógica
consiste en que a partir de unas premisas, representadas con
símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión
(deducimos la conclusión).
Los
símbolos en la lógica de enunciados pueden ser:
Los
conectores o juntores: ¬, &, V, ->, <->
Letras
enunciativas:
p, q, r...etc, que representan los enunciados de la argumentación.
Símbolos
auxiliares: ( ), I- (este último signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusión):
Ejemplo:
"si graniza (g) o nieva (n) entonces, uso paraguas (p) o no
salgo de casa (¬s) . Se da el caso de que graniza (g) . Por lo
tanto, no salgo de casa (¬s) ".
La
formalización de este argumento es la siguiente:
(
g V n ) -> ( p V ¬s ) , g I- ¬s
Ahora
bien; la deducción puede ser directa e indirecta.
Por
deducción directa
entendemos aquella en la cual, a través de las premisas, obtenemos
la conclusión de un modo directo:
Ejemplo:
Si vienes pronto, podremos
ir al cine. Has venido pronto. Conlusión: vamos al cine.
Formalicémoslo:
p -> c, p I- c
Ahora
bien ¿Cómo se lleva a cabo la deducción formal o derivación?
El
primer paso consiste en escribir las premisas iniciales con las que
contamos, numerándolas y anteponiendo a la numeración un guión
horizontal.
En
el segundo paso, aplicando sobre las premisas las reglas de
derivación que luego veremos, numeramos las derivaciones que se
extraigan de ellas, pero en este caso no le antecedemos a los
níumeros que le correspondan ningún guión. El último número
corresponde con la obtención de la conclusión deseada. Veámoslo:
Tomando
como ejemplo la formulación anterior, tendremos que derivar c (la
conclusión), de las premisas p -> c y c
-1
p -> c
-2 p
3 c MP 1,2
Las
letras que siguen a la línea de derivación tres se corresponden con
las iniciales de la regla de cálculo utilizada, en este caso, el
Modus Ponens:
dada una implicación cualquiera, si se da el antecedente, entonces
necesariamente podemos inferir el consecuente (esto se verá en el
próximo capítulo). La numeración que sigue al nombre de la regla
se refiere a las líneas sobre las que se ha aplicado dicha regla .
Derivemos
la siguiente fórmula utilizando el Modus Ponens:
p -> ( q -> r
), p -> q, p I- r
-
1 p -> ( q -> r )
- 2 p -> q
- 3 p
4 q
-> r MP 1,3
5 q MP 2,3
6 r
MP 4,5
Un
argumento es un
conjunto de enunciados o proposiciones entre los cuales una
proposición final, llamada conclusión, se sigue de las otras
proposiciones o premisas. Pues bien, llamamos deducción
a un modo de argumentar tal que el paso de las premisas a la
conclusión es necesario.
La
deducción formal o lógica
consiste en que a partir de unas premisas, representadas con
símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión
(deducimos la conclusión).
Los
símbolos en la lógica de enunciados pueden ser:
Los
conectores o juntores: ¬, &, V, ->, <->
Letras
enunciativas:
p, q, r...etc, que representan los enunciados de la argumentación.
Símbolos
auxiliares: ( ), I- (este último signo se utiliza para
indicar formalmente la conclusión):
Ejemplo:
"si graniza (g) o nieva (n) entonces, uso paraguas (p) o no
salgo de casa (¬s) . Se da el caso de que graniza (g) . Por lo
tanto, no salgo de casa (¬s) ".
La
formalización de este argumento es la siguiente:
(
g V n ) -> ( p V ¬s ) , g I- ¬s
Ahora
bien; la deducción puede ser directa e indirecta.
Por
deducción directa
entendemos aquella en la cual, a través de las premisas, obtenemos
la conclusión de un modo directo:
Ejemplo:
Si vienes pronto, podremos
ir al cine. Has venido pronto. Conlusión: vamos al cine.
Formalicémoslo:
p -> c, p I- c
Ahora
bien ¿Cómo se lleva a cabo la deducción formal o derivación?
El
primer paso consiste en escribir las premisas iniciales con las que
contamos, numerándolas y anteponiendo a la numeración un guión
horizontal.
En
el segundo paso, aplicando sobre las premisas las reglas de
derivación que luego veremos, numeramos las derivaciones que se
extraigan de ellas, pero en este caso no le antecedemos a los
níumeros que le correspondan ningún guión. El último número
corresponde con la obtención de la conclusión deseada. Veámoslo:
Tomando
como ejemplo la formulación anterior, tendremos que derivar c (la
conclusión), de las premisas p -> c y c
-1
p -> c
-2 p
3 c MP 1,2
Las
letras que siguen a la línea de derivación tres se corresponden con
las iniciales de la regla de cálculo utilizada, en este caso, el
Modus Ponens:
dada una implicación cualquiera, si se da el antecedente, entonces
necesariamente podemos inferir el consecuente (esto se verá en el
próximo capítulo). La numeración que sigue al nombre de la regla
se refiere a las líneas sobre las que se ha aplicado dicha regla .
Derivemos
la siguiente fórmula utilizando el Modus Ponens:
p -> ( q -> r
), p -> q, p I- r
-
1 p -> ( q -> r )
- 2 p -> q
- 3 p
4 q
-> r MP 1,3
5 q MP 2,3
6 r
MP 4,5
REGLAS ELEMENTALES DEL CÁLCULO DE JUNTORES
Noción de regla.
Denominamos
reglas de inferencia a aquellas operaciones que deben realizarse a
fin de obtener una conclusión correcta a partir de unas premisas
dadas. El uso de las reglas garantizan la validez de la inferencia.
Son
ocho las reglas elementales, dos por cada conector ( o juntor ).
Denominamos
reglas de inferencia a aquellas operaciones que deben realizarse a
fin de obtener una conclusión correcta a partir de unas premisas
dadas. El uso de las reglas garantizan la validez de la inferencia.
Son
ocho las reglas elementales, dos por cada conector ( o juntor ).
1. reglas básicas de la conjunción
-
Regla
de introducción del conjuntor ( IC ) o ( Prod )
Dada
la afirmación de dos proposiciones ( A , B ) podemos afirmar la
conjunción de ambas ( A & B ).
Esta
regla es evidente: si decimos que el gato es siamés ( A) y
afirmamos también que tiene los ojos azules ( B ), podemos afirmar
la conjunción de ambas proposiciones "el gato es siamés y
tiene los ojos azules" ( A & B ).
El
esquema de la regla de introducción del conjuntor ( IC) es el
siguiente:
Regla
de introducción del conjuntor ( IC ) o ( Prod )
Dada
la afirmación de dos proposiciones ( A , B ) podemos afirmar la
conjunción de ambas ( A & B ).
Esta
regla es evidente: si decimos que el gato es siamés ( A) y
afirmamos también que tiene los ojos azules ( B ), podemos afirmar
la conjunción de ambas proposiciones "el gato es siamés y
tiene los ojos azules" ( A & B ).
El
esquema de la regla de introducción del conjuntor ( IC) es el
siguiente:
Regla
de eliminación del conjuntor ( EC ) o ( Simp )
Dada
una conjunción , podemos afirmar cualquiera de sus miembros por
separado. Así en la conjunción : el
gato es siamés (A )
y ( &
) el
perro tiene los ojos verdes ( B ), podemos afirmar
sólamente el gato es
siamés ( A ) o el
perro tiene los ojos verdes ( B ).
El
esquema de la regla de eliminación del conjuntor ( EC ) es:
Regla
de eliminación del conjuntor ( EC ) o ( Simp )
Dada
una conjunción , podemos afirmar cualquiera de sus miembros por
separado. Así en la conjunción : el
gato es siamés (A )
y ( &
) el
perro tiene los ojos verdes ( B ), podemos afirmar
sólamente el gato es
siamés ( A ) o el
perro tiene los ojos verdes ( B ).
El
esquema de la regla de eliminación del conjuntor ( EC ) es:
2. Reglas básicas de la disyunción.
-
Regla
de introducción del disyuntor ( ID ) o ( Ad )
Dado
un enunciado o fórmula cualquiera, es posible añadirle cualquier
otro enunciado mediante una disyunción. Sea cual sea el valor de
verdad de la primera, nada se modifica.
El
esquema de la regla de introducción del disyuntor( ID ) es:
Regla
de introducción del disyuntor ( ID ) o ( Ad )
Dado
un enunciado o fórmula cualquiera, es posible añadirle cualquier
otro enunciado mediante una disyunción. Sea cual sea el valor de
verdad de la primera, nada se modifica.
El
esquema de la regla de introducción del disyuntor( ID ) es:
Regla
de eliminación del disyuntor ( ED ) o ( Cas )
Dada
una disyunción ( A V B ) si del primer término inferimos otro (C)
y del segundo término volvemos a inferir ese otro ( C ), se puede
afirmar C.
Ahora
bien, como no se puede establecer la afirmación de ninguno de los
términos de una disyunción, sinó sólo suponer que se da uno u
otro, cuando inferimos C, los términos de la disyunción deben ser
cancelados.
Las
suposiciones de los términos deben ir precedidas por un guión
vertical que incluya horizontalmente, todos las líneas inferidas a
partir de la suposición.
3. Reglas básicas del implicador
Regla
de introducción del implicador ( II )
Si
a partir de una proposición se sigue otra cualquiera, podemos
afirmar una implicación de ambas, siendo la primera proposición el
antecedente de la hipótesis obtenida, que hace de consecuente.
El
esquema de la regla de introducción del implicador ( II ) es:
Regla
de eliminación del implicador ( EI ) o Modus Ponens ( MP )
Dada
una implicación cualquiera, si suponemos el término que hace de
antecedente en dicha fórmula, podemos afirmar independientemente el
término que hace de consecuente en dicha implicación.
El
esquema de esta regla es:
4. Reglas básicas de la negación
Regla
de introducción de la negación ( IN )
Si
de una proposición cualquiera ( A ) se sigue una contradicción ( B
& ¬B ), la proposición ha de ser negada ( ¬A ).
El
esquema de esta regla es el siguiente:
Regla
de eliminación de la negación ( EN ) o doble negación ( DN )
La
doble negación de una fórmula equivale a su afirmación. Esta regla
es evidente: decir que no es cierto que el coche no es azul ( ¬¬A
), significa que efectivamente lo es ( A ).
El
esquema de la regla es el que sigue:
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